Joven, en la matemática uno no entiende las cosas, solo se acostumbra a ellas.

John von Neumann

 

1. Con una pequeña ayuda de mis dados

El tema central de este artículo puede resumirse en una pregunta muy precisa: ¿se puede concebir la posibilidad de hacer Análisis a partir de las tiradas de una moneda? Uno puede recordar, por ejemplo, el esclarecedor caso de aquel conocido juez Bridoye, de Gargantúa y Pantagruel, quien dictaba sus sentencias por medio de la inestimable ayuda de sus dados:

Después de haber bien visto, revisto, leído, releído, paladeado y hojeado los complementos, aditamentos, comparticiones, comisiones, informaciones, anteprocesos, producciones, alegaciones, interdictos, contradictos, respuestas, preguntas, réplicas, dúplicas, tríplicas, escrituras, reproches, gabelas, salutaciones, comprobaciones, confrontaciones, aclaraciones, libelos, rescriptos papales, cartas reales, compulsorias, declinatorias, anticipatorias, evocaciones, envíos, reenvíos, conclusiones, alegatos de no proceder, apuntamientos, textos, confesiones, exposiciones y otras grageas y especias de una parte y otra como debe hacer el buen juez, (…) , pongo a un extremo de la mesa de mi despacho el cubilete del demandante, y tiro su suerte como vosotros, señores…

Incluso para el psicoanálisis, las tiradas de moneda no son cosa nueva; una buena evidencia a favor de esto podría ser la forma en la que Freud describe el argumento  de los enemigos de su nueva técnica:

Cara gano yo, cruz pierdes tú.

En otras palabras, lo que dicen los detractores sobre la interpretación psicoanalítica es:

Si el paciente está de acuerdo con nosotros, entonces la interpretación es correcta, pero si nos contradice, eso es solo una señal de su resistencia, lo que muestra otra vez que estamos en lo cierto.^[1]Pocas décadas más tarde, Lacan introdujo dos destacados tópicos estrechamente relacionados con los caprichos del azar: las secuencias del Seminario sobre ‘La carta robada’ y el tema fascinante de Tyche y Automaton.

Desde el punto de vista matemático, cabe mencionar que las tiradas de una moneda nos ponen, en primer lugar, en el contexto de lo binario. Es lo que Lacan anunció en los años 50; sin embargo, esta simple escena se encuentra lejos de lo que podríamos llamar azar absoluto.^[2] Aun así, el binario tiene todavía mucho para ofrecer. Es un hecho conocido que mediante ceros y unos únicamente se puede escribir cualquier número natural; por ejemplo, la versión binaria del 25 es:

11001

Esta “codificación” debe interpretarse de la siguiente manera:

25 = 1.2⁴ + 1.2³ + 0.2² + 0.2¹ + 1.2⁰

Así, cualquier número natural puede ser visto como el resultado de sucesivas tiradas de una moneda: basta con traducir “caras” y “cruces” como ceros y unos respectivamente. Cualquier secuencia finita de tiradas (lo cual, en el Seminario sobre ‘La carta robada’ representa el discurso) determina un único número natural y, recíprocamente, para todo número natural n existe una única secuencia finita de tiradas que lo determina. Este panorama tan combinatorio del conjunto de los enteros positivos muestra que constituyen, como diría Borges, un tesoro secreto e intacto.^[3] En este punto surge una cuestión fundamental: ¿cómo es posible obtener el continuo a partir de una única moneda de dos lados?

El problema del continuo es uno de los más antiguos de la Filosofía y nos retrotrae a los tiempos de Zenón, quien enunció sus célebres aporías con el fin de discutir la concepción pitagoreana del tiempo y del espacio. En la matemática, el continuo fue objeto de controversias por siglos hasta que el conjunto de números reales fue establecido de manera apropiada a partir de los trabajos de Bolzano, Weierstrass y Dedekind, entre otros. La recta infinita no es otra cosa que el conjunto de números reales, cuyos elementos pueden escribirse de manera muy precisa como desarrollos decimales. Tal como aprendimos en la escuela, un número real es una secuencia de dígitos que, en algún sentido, no cesan de no escribirse, por ejemplo:

π = 3,141592653…

Pero: ¿no cesan? Tenemos que admitir que algunas de estas expresiones sí lo hacen; esta situación corresponde a aquellos números que son racionales (cocientes de enteros):

1/5 = 0,2

o bien

2/7 = 0,285714285714285714…

En este último ejemplo es preciso aclarar que, a pesar del número infinito de cifras, se entiende que la secuencia en realidad “cesa” porque sabemos exactamente cómo continúa después de la primera ocurrencia de «285714». Los irracionales, en cambio, corresponden a aquellos desarrollos que no son periódicos y, como dice Lacan en Encore, solamente se pueden concebir como límite. Este concepto podría sonar algo intimidante, si tenemos en cuenta su relación con la misteriosa idea de lo infinitesimal; sin embargo, el límite está bien definido en el análisis (matemático, claro), lo que permite fundarlo sobre una base axiomática sólida.

Pero volvamos a nuestra moneda. De la misma forma en que describimos los números simplemente como desarrollos decimales que completan la recta, podemos reemplazar dígitos por bits para obtener secuencias infinitas de ceros y unos. Es fácil demostrar que cualquier número real puede representarse por un desarrollo binario, con una parte entera y una mantisa, por ejemplo:

110.10011001110… = 110 + 0.10011001110…

En otras palabras:

Parte entera:                      

1.2² + 1.2¹ + 0.2⁰ = 6

Mantisa:                   

1.1/2 + 0.1/2² + 0.1/2³ + 1.1/2⁴ + 1.1/2⁵ … =  0.59375…

De esta forma, también el conjunto de los números reales puede ser pensado como un “tesoro”: un tesoro muy singular, conformado por una sola moneda.

 

2. Mi no tan bella moneda^[4]

En la previa vimos que todo número real se puede “fabricar” a partir de las tiradas de una moneda: una representación “a mano alzada” (o mejor dicho, a dedo alzado) de los reales.[5] Pero, por coincidencia[6], la tirada de monedas está relacionada con el azar; de esta manera, es natural preguntarse sobre la probabilidad de obtener ciertos resultados particulares. Más precisamente, podemos limitarnos a los números entre 0 y 1, es decir, aquellos cuya parte entera es 0. Al cabo de una infinidad de tiradas, en donde cada una define un bit, ¿cuál es la probabilidad de obtener por ejemplo un número racional?

A diferencia de otras cuestiones de considerable dificultad que pueden formularse en este contexto, en este caso hay una respuesta muy precisa: la probabilidad es 0. Esto puede resultar sorprendente, especialmente si pensamos que la mayoría de los números que “conocemos” son racionales. Sin embargo, es fácil probar que hay “muchos más” irracionales que racionales^[7]; de hecho, podemos dar una “evidencia intuitiva” de esto observando que la periodicidad no debería ser un fenómeno esperable en una secuencia azarosa. ¿Qué pensaríamos, por ejemplo, acerca de una secuencia “azarosa” con este aspecto 0,001001001001001…?^[8]Por otro lado, es inmediato preguntarse también por la distribución asociada a este experimento, que puede expresarse en los términos siguientes: si generamos un número a entre 0 y 1 a partir de las tiradas de una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que a sea menor o igual que cierto valor x? Tal probabilidad suele escribirse habitualmente F(x), donde F es la llamada función de distribución (o distribución acumulada, en algunos textos). Como toda secuencia produce un número mayor o igual que 0, es claro que F(0) = 0; de la misma forma se deduce que F(1) = 1. En rigor, es fácil probar que F(x) = x para todo x entre 0 y 1, lo cual brinda una bonita imagen de F:

De esta forma, hemos obtenido la llamada distribución uniforme lo cual, ciertamente, no constituye una gran sorpresa, pues es razonable pensar que la probabilidad de obtener un resultado es “la misma” en cualquier sector del segmento.¿Por qué “razonable”? Simplemente, porque hemos empleado esa moneda que es la favorita de quienes aman el azar: la (imposible) moneda equilibrada, conocida a veces como moneda de Tyche en honor a la diosa griega de la fortuna. Aquí “equilibrada” significa que la probabilidad de obtener cara o cruz es la misma, vale decir ½. Si -como se dice- echamos suertes, lo justo es usar una moneda justa; de otra forma estaríamos haciendo trampa. Pero: ¿no hacemos trampa cuando hablamos?

Esta ingenua pregunta abre un nuevo campo para nuestra investigación: ¿que ocurre si usamos una moneda “injusta”, es decir, no equilibrada? Por ejemplo, si la probabilidad de obtener cara es solamente ¼ entonces, en una secuencia de mil tiradas, esperaríamos obtener aproximadamente 250 caras y 750 cruces. En tal caso, una secuencia formada por 500 caras y 500 cruces sería sospechosa. Para una cantidad infinita de tiradas, tanto caras como cruces deberían ocurrir infinitas veces, con frecuencias relativas de ¼ y ¾ respectivamente. ¿Y qué ocurre con la función F de distribución? Es claro que va a dejar de ser uniforme, aunque no es sencillo explicar con exactitud qué pinta tiene F.

De todas formas, vale la pena intentarlo:  en principio observemos como antes que F(0) = 0, F(1) = 1 y F(x) crece a medida que lo hace x. Es decir, la gráfica de F une los puntos (0,0) y (1,1) en forma creciente, cosa que es cierta si la probabilidad p de obtener cara es cualquier valor entre 0 y 1. Como dijimos, para p = ½ la función F tiene una conducta muy “recta”: hay alguna cosa más recta que una recta, que además brinda el camino más corto entre dos puntos? En cambio, para p ≠ ½, el recorrido de F describe necesariamente más meandros. Lo asombroso es que, de alguna manera, el gráfico de F resulta el más largo entre (0,0) and (1,1)^[9]. Más aún, se ha probado que la función se comporta de una manera muy extraña: a grandes rasgos, la tangente a su gráfico es, esencialmente en cualquier punto, o bien horizontal o bien vertical. En términos algo más precisos, la tangente debe ser en realidad horizontal en casi todo punto, lo cual dice que F se mantiene quieta casi todo el tiempo, pero presenta saltos repentinos en algunos puntos en los que la tangente se vuelve vertical:

El (inconcebible) gráfico de F para p ≠ 1/2

A modo de observación, mencionemos que en el último párrafo usamos una expresión en apariencia imprecisa: en casi todo punto. Dicha expresión tiene, sin embargo, un significado riguroso y exacto, que sería difícil explicar en esta breve nota pero, en el presente contexto, se puede reemplazar por una frase mucho menos oscura: “con probabilidad 1″. Podemos entonces concluir que los saltos son realmente infrecuentes, pues ocurren con probabilidad 0. Pero existen y esa es la razón que permite a F alcanzar su punto de llegada (1,1). Este fascinante resultado vale para todo p ≠ ½: en definitiva, el equilibrio de una moneda es un asunto muy delicado.

Quizás el discurso sea comparable a la distribución de una moneda no equilibrada, que se comporta bien en casi todas partes pero produce, de tanto en tanto, algunos inesperados saltos infinitos…

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*Analysis, Psychoanalysis and the Art of coin-tossing. Publicado en Almanac of Psychoanalysis, 2004.

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^[1] S. Freud, Construcciones en Psicoanálisis.

^[2] En efecto, si pensamos caras y cruces como los únicos posibles eventos, estamos introduciendo de manera arbitraria una limitación al universo: podría ocurrir, por ejemplo, que una irrespetuosa ave de rapiña capturase la moneda cuando se encuentra en suspenso (en este aspecto, el argumento indicado por Freud está destinado a fallar). Debemos aceptar, una vez más, que lo absoluto no puede ser medido por la matemática.

^[3] J.L.Borges, La biblioteca de Babel. Cabe mencionar que esta concepción del Universo como la variación de las 23 letras fue tomada de la Kabalah, que tanto cautivó al escritor argentino.

^[4] El subtítulo original era My unfair coin, juego de palabras entre My fair lady (mi bella dama) y el hecho de que fair significa también “justo” o “equilibrado”. Una unfair coin es una moneda no equilibrada, que tiene mayor tendencia a caer de un lado que del otro.

^[5] Esta forma de obtener los reales podría parecer laboriosa; es oportuno recordar entonces la forma en que  Sherlock Holmes describe su profesión:

“Dicen que el genio es la capacidad infinita de tomarse molestias”, observó con una sonrisa. “Como definición es muy mala, pero se aplica al trabajo detectivesco” (Estudio en escarlata, cap. 3).

^[6] Juego de palabras en inglés: coin-cidentally remite a “coin” (moneda).

^[7] Este hecho habría producido una impresión bastante fuerte a los pitagóricos, quienes pensaban que todos los números son racionales.

^[8] Esta idea puede brindar una definición de lo que significa “azar”: las secuencias aleatorias tienen que comportarse de una manera (en cierto sentido) caótica, que excluye la periodicidad y otras regularidades. Por ejemplo, esta secuencia no es periódica, pero tampoco debería considerarse azarosa:

0,101001000100001…

^[9] Esto necesita una aclaración. Como menciona Lacan en su discusión sobre el Menón de Platón, la longitud de la diagonal que traza F cuando la moneda es equilibrada es la raíz cuadrada de 2: esto representa, en efecto, un mínimo. Por otro lado, es fácil ver que la longitud del gráfico de una función creciente que une (0,0) con (1,1) no puede ser mayor que 2. Es posible demostrar que, de hecho, la longitud del gráfico de la función de distribución F para cualquier valor p ≠ ½ es exactamente 2 (ver D.Stroock, Doing analysis by tossing a coin, The Mathematical Intelligencer 22, 2 (2000), pp. 66-73).

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Doctor en Matemáticas de la Universidad de Buenos Aires, en la cual es actualmente Profesor Asociado y fue Director del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Investigador Principal del CONICET. Es autor de un centenar de trabajos de investigación científica y dos libros en el área de ecuaciones diferenciales. Colabora en diferentes proyectos de investigación en universidades argentinas y extranjeras.

Por otra parte, dicta con frecuencia conferencias y seminarios de divulgación, y escribe textos destinados a un público amplio. Ha publicado, entre otros, los libros: La matemática como una de las bellas artes (Siglo XXI, 2004); Mucho, poquito, nada. Un pequeño paseo matemático (Ed. Norma, 2007); Fragmentos de un discurso matemático (Fondo de Cultura Económica, 2007); ¡Matemática, maestro! Un concierto para números y orquesta (Siglo XXI, 2010), y, Teoría de Juegos. Una introducción matemática a la toma de decisiones (en coautoría con J. P. Pinasco, Fondo de Cultura Económica de México, 2014)., y, Apuntes matemáticos para leer a Lacan. Topología. Reedición. (Ediciones Kliné, 2018).